我們分步驟計算符合條件的填法總數： 1. 首先，決定數字 $1$ 與 $2$ 的位置： - **情況一：$1$ 與 $2$ 在同一列** 表格有 $2$ 列。選擇其中一列有 $C^{2}_{1} = 2$ 種選擇。 在選定的一列中（有 $3$ 個空格），填入 $1$ 與 $2$ 的方法有 $P^{3}_{2} = 3 \times 2 = 6$ 種。 因此，在同一列的情形有： $$2 \times 6 = 12 \text{ 種}$$ - **情況二：$1$ 與 $2$ 在同一行** 表格有 $3$ 行。選擇其中一行有 $C^{3}_{1} = 3$ 種選擇。 在選定的一行中（有 $2$ 個空格），填入 $1$ 與 $2$ 的方法有 $P^{2}_{2} = 2$ 種。 因此，在同一行的情形有： $$3 \times 2 = 6 \text{ 種}$$ - 由於 $1$ 與 $2$ 不可能同時在同一列且在同一行（此為 orthogonal 關係），故上述兩情況互斥。因此，將 $1$ 與 $2$ 放在同一列或同一行的總位置方法數為： $$12 + 6 = 18 \text{ 種}$$ 2. 接著，將剩下的四個數字（$3, 4, 5, 6$）排入剩餘的四個空格中： 其排列方法數為： $$P^{4}_{4} = 4! = 24 \text{ 種}$$ 3. 綜合上述，總填寫方法數為： $$\text{方法數} = 18 \times 24 = 432 \text{ 種}$$ 故填 $432$。