103指考數學甲單選第1題詳解

圓方程式配方：$x^2+y^2+2x-2y+1=0$ $(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=1$ $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ 因此圓心為 $(-1,1)$，半徑為 $1$。 將絕對值函數 $y = |2x+1|$ 分成兩條直線： 當 $2x+1 \ge 0$（即 $x \ge -\frac{1}{2}$）：$y = 2x+1$ 當 $2x+1 < 0$（即 $x < -\frac{1}{2}$）：$y = -2x-1$ 分別與圓聯立求交點個數： $(1)$ $y = 2x+1$ 代入圓：$(x+1)^2+(2x)^2=1$，即 $5x^2+2x=0$，得 $x=0$ 或 $x=-\frac{2}{5}$。 因為 $x=0 \ge -\frac{1}{2}$ 且 $x=-\frac{2}{5} \ge -\frac{1}{2}$，所以兩者皆符合，此段有 $2$ 個交點。 $(2)$ $y = -2x-1$ 代入圓：$(x+1)^2+(-2x-2)^2=1$，即 $(x+1)^2+4(x+1)^2=1$，即 $5(x+1)^2=1$，得 $x = -1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$。 因為 $-1+\frac{1}{\sqrt{5}} \approx -0.55 < -\frac{1}{2}$ 且 $-1-\frac{1}{\sqrt{5}} \approx -1.45 < -\frac{1}{2}$，所以兩者皆符合，此段有 $2$ 個交點。 因此共有 $4$ 個交點，故選 $(4)$。