103 指考數學乙第 12 題

Question

某工廠可以買甲、乙兩種規格的鐵板來製作「熊大」徽章、「兔兔」徽章和「饅頭人」徽章。每塊甲規格的鐵板可以製作 $8$ 個「熊大」徽章、$4$ 個「兔兔」徽章及 $8$ 個「饅頭人」徽章，每塊乙規格的鐵板可以製作 $4$ 個「熊大」徽章、$4$ 個「兔兔」徽章及 $16$ 個「饅頭人」徽章。已知甲規格的鐵板每塊的成本為 $400$ 元，乙規格的鐵板每塊的成本為 $320$ 元；然而零售商需要 $28$ 個「熊大」徽章、$20$ 個「兔兔」徽章及 $48$ 個「饅頭人」徽章。為了滿足零售商的需求，設工廠要買進 $x$ 塊甲規格鐵板、$y$ 塊乙規格鐵板，其中 $x$ 和 $y$ 為非負整數，由下列步驟，求出何時才能達到最低成本。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。（$4$ 分）
(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標。（$4$ 分）
(3) 工廠所需最低成本為多少元？（$4$ 分）

Accepted Answer

答案：$(1)\ p\left(x,y\right)=400x+320y,\ 2x+y\ge 7,\ x+y\ge 5,\ x+2y\ge 6,\ x\ge0,\ y\ge0;\ (2)\ \left(6,…
目標函數為 $p\left(x,y\right)=400x+320y$。需求條件化簡為 $2x+y\ge 7$、$x+y\ge 5$、$x+2y\ge 6$，且 $x\ge0$、$y\ge0$。可行域頂點為 $\left(6,0\right)$、$\left(4,1\right)$、$\left(2,3\right)$、$\left(0,7\right)$。代入目標函數分別為 $2400$、$1920$、$1760$、$2240$，故最低成本為 $1760$ 元。