設 $f(x) = x^2 + bx + c$，其中 $b, c$ 為實數。 - $(1)$ 對：因式定理，$$f(2) = 0 \implies x - 2\text{ 可整除 }f(x)$$。 - $(2)$ 錯：若 $f(x) = (x - 2)(x - \sqrt{2}) = x^2 - (2+\sqrt{2})x + 2\sqrt{2}$，其係數不全為整數。 - $(3)$ 錯：無此結論。 - $(4)$ 對：共軛複數根定理，因為 $f(x)$ 為實係數二次多項式，虛根必成對出現。若 $2+i$ 為其根，則 $2-i$ 亦必為其根。 - $(5)$ 對：若 $2+i$ 為其根，則另一根為 $2-i$。此二次多項式為 $$f(x) = [x - (2+i)][x - (2-i)] = (x-2)^2 - i^2 = x^2 - 4x + 5$$。其所有係數均為整數，故 $f(x)$ 為整係數多項式。 因此正確的選項為 $(1)(4)(5)$。