104學測數學選填第14題詳解

平面 $E_0: x - y + z = 0$。 求此平面與三平面的交點（三角形的三個頂點）： 頂點 $A$：聯立 $x=2$、$x-y=-2$、$E_0$。 $x=2$ 代入 $x-y=-2$，得 $y=4$。代入 $E_0$：$2-4+z=0$，得 $z=2$。 所以 $A = (2,4,2)$。 頂點 $B$：聯立 $x=2$、$x+y=2$、$E_0$。 $x=2$ 代入 $x+y=2$，得 $y=0$。代入 $E_0$：$2-0+z=0$，得 $z=-2$。 所以 $B = (2,0,-2)$。 頂點 $C$：聯立 $x-y=-2$、$x+y=2$、$E_0$。 由前兩式相加得 $2x=0$，即 $x=0$。代入 $x+y=2$，得 $y=2$。 代入 $E_0$：$0-2+z=0$，得 $z=2$。 所以 $C = (0,2,2)$。 三邊長： $\overline{AB} = \sqrt{0^2+4^2+4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ $\overline{BC} = \sqrt{2^2+2^2+4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ $\overline{CA} = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 周長 $= 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$。 因為 $b < d$ 且 $2 < 6$，所以 $a = 6$、$b = 2$、$c = 2$、$d = 6$。