104學測數學選填第15題詳解

設定點 $P$ 坐標為 $(x, y)$。 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{Q_1P} = P - Q_1 = (-7, 9)$，得 $Q_1 = P - (-7, 9) = (x+7, y-9)$。 因為 $Q_1$ 在 $L_1: x + 2y = 0$ 上，所以 $(x+7) + 2(y-9) = 0$，即 $x + 2y = 11$。 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{Q_2P} = P - Q_2 = (-6, -8)$，得 $Q_2 = P - (-6, -8) = (x+6, y+8)$。 因為 $Q_2$ 在 $L_2: 3x - 5y = 0$ 上，所以 $3(x+6) - 5(y+8) = 0$，即 $3x - 5y = 22$。 解聯立方程組： $\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 3x - 5y = 22 \end{cases}$ 由第一式 $x = 11 - 2y$，代入第二式：$3(11-2y) - 5y = 22$，得 $33 - 6y - 5y = 22$，即 $11y = 11$，$y = 1$。 $x = 11 - 2 \times 1 = 9$。 因此 $P = (9, 1)$。