104學測數學選填第17題詳解

設第 $n$ 次調動後，$A$、$B$、$C$ 三據點人數分別為 $a_n$、$b_n$、$c_n$。初始 $a_0 = b_0 = c_0 = 36$。 依調動規則寫出遞迴關係： $a_{n+1} = (1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6})a_n + \frac{1}{6}b_n + \frac{1}{6}c_n = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{6}b_n + \frac{1}{6}c_n$ $b_{n+1} = \frac{1}{6}a_n + (1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3})b_n + \frac{1}{6}c_n = \frac{1}{6}a_n + \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{6}c_n$ $c_{n+1} = \frac{1}{6}a_n + \frac{1}{3}b_n + (1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6})c_n = \frac{1}{6}a_n + \frac{1}{3}b_n + \frac{2}{3}c_n$ 第一次調動後（$n=0 \to n=1$），因為 $a_0=b_0=c_0=36$，所以代入計算： $a_1 = \frac{2}{3} \cdot 36 + \frac{1}{6} \cdot 36 + \frac{1}{6} \cdot 36 = 24 + 6 + 6 = 36$ $b_1 = \frac{1}{6} \cdot 36 + \frac{1}{2} \cdot 36 + \frac{1}{6} \cdot 36 = 6 + 18 + 6 = 30$ $c_1 = \frac{1}{6} \cdot 36 + \frac{1}{3} \cdot 36 + \frac{2}{3} \cdot 36 = 6 + 12 + 24 = 42$ 第二次調動後（$n=1 \to n=2$）： $a_2 = \frac{2}{3} \cdot 36 + \frac{1}{6} \cdot 30 + \frac{1}{6} \cdot 42 = 24 + 5 + 7 = 36$ $b_2 = \frac{1}{6} \cdot 36 + \frac{1}{2} \cdot 30 + \frac{1}{6} \cdot 42 = 6 + 15 + 7 = 28$ $c_2 = \frac{1}{6} \cdot 36 + \frac{1}{3} \cdot 30 + \frac{2}{3} \cdot 42 = 6 + 10 + 28 = 44$ 因此兩次調動後，$C$ 據點有 $44$ 位營業員。