105學測數學選填第20題詳解

1. 因為 $ABCD$-$EFGH$ 是長方體，$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{AD}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$ 兩兩垂直，所以可取 $A$ 為原點、這三個向量為坐標軸方向，並設 $$B=(1,0,0),\;D=(0,1,0),\;E=(0,0,1).$$ 2. 因為 $G$ 在 $C$ 的正下方而 $C=B+D$ 的位置對應 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}+\overset{\large\rightharpoonup}{AD}$，所以 $$G=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1).$$ 3. 求平面 $BDG$ 的方程式。因為它通過 $B(1,0,0)$ 與 $D(0,1,0)$，設方程式為 $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$，所以 $p=1$ 且 $q=1$。 4. 再把 $G(1,1,1)$ 代入，所以 $1+1+\frac{1}{r}=1$，得 $r=-1$，於是平面 $BDG$ 為 $$x+y-z=1.$$ 5. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{3}\overset{\large\rightharpoonup}{AB}+2\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+a\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$，而 $A$ 是原點，所以 $P$ 的坐標就是這組係數，即 $P=\left(\frac{1}{3},2,a\right)$。 把 $P$ 代入平面方程式，所以 $$\dfrac{1}{3}+2-a=1\implies a=\dfrac{7}{3}-1=\dfrac{4}{3}.$$ 故 $a=\frac{4}{3}$。