(1) 二階方陣 $A$ 可以改寫為旋轉矩陣的標準形式： $$A = \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}$$ 其中 $\cos \theta = \dfrac{4}{5}$，$\sin \theta = \dfrac{3}{5}$。 這代表線性變換 $A$ 是將平面上的點繞原點 $O$ 逆時針旋轉角度 $\theta$。因為旋轉是等距變換，不改變點到原點的距離，故： $$\overline{OP_1} = \overline{OP_2} = \overline{OP_3} = a$$ 點 $P_1$ 經 $A$ 變換成 $P_2 \implies \angle P_1OP_2 = \theta$，且 $P_2$ 經 $A$ 變換成 $P_3 \implies \angle P_2OP_3 = \theta$。 因此， $\angle P_1OP_3 = 2\theta$。 利用正弦二倍角公式： $$\sin(\angle P_1OP_3) = \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$$ 故 $\sin(\angle P_1OP_3) = \dfrac{24}{25}$。 (2) $\triangle P_1P_2P_3$ 的面積可藉由加減三個以原點 $O$ 為頂點的三角形面積求得： $$\text{面積}(\triangle P_1P_2P_3) = \text{面積}(\triangle P_1OP_2) + \text{面積}(\triangle P_2OP_3) - \text{面積}(\triangle P_1OP_3)$$ 由於 $\overline{OP_1} = \overline{OP_2} = \overline{OP_3} = a$，且各夾角為 $\angle P_1OP_2 = \angle P_2OP_3 = \theta$，$\angle P_1OP_3 = 2\theta$： $$\text{面積}(\triangle P_1OP_2) = \dfrac{1}{2} a^2 \sin \theta = \dfrac{1}{2} a^2 \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10} a^2$$ $$\text{面積}(\triangle P_2OP_3) = \dfrac{3}{10} a^2$$ $$\text{面積}(\triangle P_1OP_3) = \dfrac{1}{2} a^2 \sin(2\theta) = \dfrac{1}{2} a^2 \times \dfrac{24}{25} = \dfrac{12}{25} a^2$$ 因此， $$\triangle P_1P_2P_3 \text{ 面積} = \dfrac{3}{10} a^2 + \dfrac{3}{10} a^2 - \dfrac{12}{25} a^2 = \dfrac{3}{5} a^2 - \dfrac{12}{25} a^2 = \dfrac{3}{25} a^2$$ 故以 $a$ 表示 $\triangle P_1P_2P_3$ 的面積為 $\dfrac{3}{25} a^2$。 (3) 設 $P_1$ 點的坐標為 $(x, y)$，則 $a^2 = \overline{OP_1}^2 = x^2 + y^2$。 因為 $P_1$ 在拋物線 $y = \dfrac{1}{10}x^2 - 10$ 上，故 $x^2 = 10y + 100$。 代入 $a^2$ 得： $$a^2 = (10y + 100) + y^2 = y^2 + 10y + 100$$ 我們想要求 $\triangle P_1P_2P_3$ 面積 $\dfrac{3}{25} a^2$ 的最小值，即求 $a^2$ 的最小值。 將二次式配方： $$a^2 = (y + 5)^2 + 75$$ 因為 $P_1$ 在拋物線上，其實數坐標必須滿足 $x^2 \ge 0 \implies 10y + 100 \ge 0 \implies y \ge -10$。 因為頂點 $y = -5$ 介於 $[-10, \infty)$ 區間內，當 $y = -5$ 時，$a^2$ 取得最小值 $75$（此時 $x^2 = 50$，對應實數坐標 $x = \pm 5\sqrt{2}$ 確實存在）。 因此，$\triangle P_1P_2P_3$ 面積的最小可能值為： $$\text{最小面積} = \dfrac{3}{25} \times 75 = 9$$ 故最小面積為 $9$。