設平面 $ax+by+cz=0$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (a, b, c)$。 已知 $a^2 + b^2 + c^2 = 12$，故法向量長度 $\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}\right\| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。 平面 $x=0$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = (1, 0, 0)$，其長度為 $1$。 平面 $x+\sqrt{3}y=0$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (1, \sqrt{3}, 0)$，其長度為 $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$。 根據兩平面的夾角為 $60^\circ$，其法向量夾角為 $60^\circ$ 或 $120^\circ$： 1. 與平面 $x=0$ 的夾角為 $60^\circ$： $$\cos 60^\circ = \dfrac{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\right|}{\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}\right\| \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\right\|} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{|a|}{2\sqrt{3} \times 1} \implies |a| = \sqrt{3} \implies a^2 = 3$$ 2. 與平面 $x+\sqrt{3}y=0$ 的夾角為 $60^\circ$： $$\cos 60^\circ = \dfrac{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2\right|}{\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}\right\| \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2\right\|} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{|a + \sqrt{3}b|}{2\sqrt{3} \times 2} \implies |a + \sqrt{3}b| = 2\sqrt{3}$$ 由 $a^2 = 3$ 得 $a = \pm\sqrt{3}$： - 當 $a = \sqrt{3}$ 時： $$\left|\sqrt{3} + \sqrt{3}b\right| = 2\sqrt{3} \implies \sqrt{3}|1+b| = 2\sqrt{3} \implies |1+b| = 2 \implies b = 1 \text{ 或 } b = -3$$ 此時 $b^2 = 1$ 或 $b^2 = 9$。 - 當 $a = -\sqrt{3}$ 時： $$\left|-\sqrt{3} + \sqrt{3}b\right| = 2\sqrt{3} \implies \sqrt{3}|b-1| = 2\sqrt{3} \implies |b-1| = 2 \implies b = 3 \text{ 或 } b = -1$$ 此時 $b^2 = 9$ 或 $b^2 = 1$。 不論 $a$ 為何者，均可得到 $b^2$ 為 $1$ 或 $9$。 利用 $a^2 + b^2 + c^2 = 12$： - 若 $b^2 = 1$，則 $3 + 1 + c^2 = 12 \implies c^2 = 8$，此時 $(a^2, b^2, c^2) = (3, 1, 8)$。 - 若 $b^2 = 9$，則 $3 + 9 + c^2 = 12 \implies c^2 = 0$，此時 $(a^2, b^2, c^2) = (3, 9, 0)$。 故填 $(3, 1, 8)$ 或 $(3, 9, 0)$。