107 指考數學甲第 2 題

Question

坐標平面上，考慮 $A(2,3)$ 與 $B(-1,3)$ 兩點，並設 $O$ 為原點。令 $E$ 為滿足 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=a\overset{\large\rightharpoonup}{OA}+b\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 的所有點 $P$ 所形成的區域，其中 $-1\le a\le 1$，$0\le b\le 4$。考慮函數 $f(x)=x^2+5$，試問當限定 $x$ 為區域 $E$ 中的點 $P(x,y)$ 的橫坐標時，$f(x)$ 的最大值為何？

Accepted Answer

答案：$(4)$
設 $P(x,y)$，則 $(x,y) = a(2,3) + b(-1,3) = (2a-b, 3a+3b)$。
橫坐標 $x = 2a - b$。
由於 $-1 \le a \le 1$ 且 $0 \le b \le 4$，
$x$ 的最小值發生在 $a=-1, b=4$ 時，$x = 2(-1) - 4 = -6$。
$x$ 的最大值發生在 $a=1, b=0$ 時，$x = 2(1) - 0 = 2$。
因此 $-6 \le x \le 2$。
函數 $f(x) = x^2 + 5$，當 $x = -6$ 時，$f(x)$ 有最大值為 $(-6)^2 + 5 = 41$。
故選 $(4)…