108學測數學選填第16題詳解

設直線跑道 $\overline{AB}$ 的長度為 $x$ 公尺，兩側半圓跑道的半徑為 $r$ 公尺。 跑道內圈的總長度為上下兩直線跑道與兩側半圓（合為一圓）的周長和： $$2x + 2\pi r = 400 \Rightarrow x + \pi r = 200 \Rightarrow r = \frac{200 - x}{\pi}$$ 為了在跑道內圈中放置一個長 $90$ 公尺、寬 $60$ 公尺的足球練習場，必須滿足以下兩個條件： • 直線跑道長度不得小於足球場的長邊：$x \ge 90$。 • 兩直跑道間的距離（即圓直徑 $2r$）不得小於足球場的寬度：$2r \ge 60 \Rightarrow r \ge 30$。 將 $r$ 的表示式代入條件中： $$\frac{200 - x}{\pi} \ge 30 \Rightarrow 200 - x \ge 30\pi \Rightarrow x \le 200 - 30\pi$$ 取 $\pi \approx 3.1416$，則： $$x \le 200 - 30(3.1416) = 200 - 94.248 = 105.752$$ 因此，直線跑道長度 $x$ 的最大可能整數值為 $105$ 公尺。 答：105。