109學測數學單選第3題詳解

📅 109 年 📝 學測數學第 3 題題型：單選課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$(2)$

本題考點：平面幾何、線性組合、平面向量

如圖所示，$O$ 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點 $P$ 落在 $\triangle ODE$ 內部（不含邊界）？

$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$$=$$\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$$+$$\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$
$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$$=\dfrac{1}{4}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$$+\dfrac{1}{2}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$
$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$$=-\dfrac{1}{4}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$$+\dfrac{1}{2}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$
$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$$=\dfrac{1}{4}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$$-\dfrac{1}{2}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$
$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$$=-\dfrac{1}{4}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$$-\dfrac{1}{2}$$\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$

平面幾何線性組合平面向量

答案

$(2)$

詳解

以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$ 為基底，令 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=a\,\overset{\large\rightharpoonup}{OC}+b\,\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$。在正六邊形中，因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OD}=\overset{\large\rightharpoonup}{OC}+\overset{\large\rightharpoonup}{OE}$，所以 $\triangle ODE$ 在此基底下的區域為：$0<a<b<1$（不含等號即不含邊界）。逐一檢查各選項：選項 $(1)$：$a=1,\;b=1$，不符合 $0<a<b<1$。選項 $(2)$：$a=\frac{1}{4},\;b=\frac{1}{2}$，因為 $0<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}<1$，所以 $P$ 在 $\triangle ODE$ 內部。選項 $(3)$：$a=-\frac{1}{4}<0$，不符合 $a>0$。選項 $(4)$：$b=-\frac{1}{2}<0$，不符合 $b>0$。選項 $(5)$：$a=-\frac{1}{4}<0,\;b=-\frac{1}{2}<0$，不符合。故選 $(2)$。

題目來源：民國109年學測數學第3題（來源PDF第2頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈109學測數學單選第3題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/109_02M_q03

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