109指考數學乙單選第1題詳解

1. 令 $A=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}=-I+B$，其中 $B=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$。 2. 因為 $B^2=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=O$，且 $(-I)$ 與 $B$ 可交換，所以可用二項式定理展開： $$\begin{aligned} A^5 &= (-I+B)^5 \\ &= (-I)^5 + C^5_1 (-I)^4 B + C^5_2 (-I)^3 B^2 + \cdots \\ &= -I + 5B \end{aligned}$$ 因為 $B^2 = O$，所以三次以上項皆為 $O$。 3. 因為 $-I+5B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$，所以 $A^5=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$。 故選 $(5)$。