109指考數學乙多選第4題詳解

因為 $f(x)$ 為二次實係數多項式且 $f(x)=0$ 沒有實根，所以 $f(x)$ 的圖形為開口向上或向下的拋物線，且全部在 $x$ 軸上方或全部在 $x$ 軸下方，即 $f(x)$ 恆正或恆負。 選項 $(1)$： 因為 $f(x)$ 可能恆負（例如 $f(x) = -x^2 - 1$），此時 $f(0) = -1 < 0$，所以 $f(0) > 0$ 不一定成立。 選項 $(2)$： 因為 $f(x)$ 恆正或恆負，所以 $f(1)$ 與 $f(2)$ 必定同號，因此 $f(1)f(2) > 0$ 恆成立。 選項 $(3)$： 設 $f(x) = a(x-h)^2 + k$，其中 $a \neq 0$。因為 $f(x)=0$ 沒有實根，所以 $a$ 與 $k$ 同號。若 $f(x)-1=0$ 有實根，則存在 $x$ 使得 $a(x-h)^2 + k = 1$，即 $a(x-h)^2 = 1-k$。因為左邊為非負數乘以 $a$ 的符號，所以必須 $a > 0$ 且 $k \le 1$；又因為 $f(x)=0$ 無實根即 $k > 0$，所以 $0 < k \le 1$。對於 $f(x)-2=0$，即 $a(x-h)^2 = 2-k$，因為 $2-k \ge 1 > 0$ 且 $a > 0$，所以必定有實根。 選項 $(4)$： 因為 $f(x)-1=0$ 有重根，所以判別式為 $0$，即 $k = 1$。此時 $f(x)$ 的最小值為 $1$，因此 $f(x) = \frac{1}{2}$ 必定無實根。 選項 $(5)$： 因為 $f(x)-1=0$ 有兩相異實根，所以 $k < 1$。但若 $k = 0.8$，此時 $\frac{1}{2} < k$，故 $f(x) = \frac{1}{2}$ 可能無實根。 故選 $(2)(3)(4)$。