109指考數學乙多選第5題詳解

因為奇數項為公比 $\frac{1}{3}$ 的等比數列且 $a_1 = 3$，所以 $a_{2k-1} = 3\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = 3^{2-k}$，其中 $k \ge 1$。 因為偶數項為公比 $\frac{1}{2}$ 的等比數列且 $a_2 = 2$，所以 $a_{2k} = 2\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 2^{2-k}$，其中 $k \ge 1$。 選項 $(1)$： 因為 $a_4 = 2^{2-2} = 1$，$a_5 = 3^{2-3} = \frac{1}{3}$，$a_6 = 2^{2-3} = \frac{1}{2}$，$a_7 = 3^{2-4} = \frac{1}{9}$，所以 $a_5 = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = a_6$，不滿足 $a_5 > a_6$。 選項 $(2)$： 因為 $a_{10} = 2^{2-5} = \frac{1}{8}$，$a_{11} = 3^{2-6} = \frac{1}{81}$，所以 $\frac{a_{10}}{a_{11}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{81}} = \frac{81}{8} = 10.125 > 10$。 選項 $(3)$： 因為 $|\frac{1}{3}| < 1$ 且 $|\frac{1}{2}| < 1$，所以奇數項子列與偶數項子列的極限皆為 $0$，即 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$。 選項 $(4)$： 當 $n = 2k-1$ 時，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_{2k}}{a_{2k-1}} = \frac{2^{2-k}}{3^{2-k}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{k-2}$。因為 $\frac{3}{2} > 1$，所以當 $k \to \infty$ 時此比值趨近於無限大，極限不存在。 選項 $(5)$： 因為奇數項無窮等比級數和為 $\frac{3}{1-\frac{1}{3}} = \frac{9}{2} = 4.5$，偶數項無窮等比級數和為 $\frac{2}{1-\frac{1}{2}} = 4$，所以全部項的總和為 $4.5 + 4 = 8.5$。因為每項皆為正數，所以前 $100$ 項和必定小於無窮級數和 $8.5$，不可能大於 $9$。 故選 $(2)(3)$。