先分析各點數對應的移動量。
各點數的移動量分析如下：
擲出點數 $1$ 時不移動；
點數 $3$ 時向左移動 $3-1=2$ 單位；
點數 $5$ 時向左移動 $5-1=4$ 單位；
點數 $2,4,6$ 時向右移動 $1,2,3$ 單位。
$$\begin{aligned}
&1: 0, &&2: +1, &&3: -2 \\
&4: +2, &&5: -4, &&6: +3
\end{aligned}$$
選項 $(1)$：
因為距離為 $2$ 表示坐標為 $+2$ 或 $-2$，對應點數 $4$（移動 $+2$）與點數 $3$（移動 $-2$），所以機率為 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，不是 $\frac{1}{2}$。
選項 $(2)$：
因為期望值為 $\frac{1}{6}(0 + 1 + (-2) + 2 + (-4) + 3) = \frac{0}{6} = 0$，所以期望值為 $0$。
選項 $(3)$：
因為擲兩次骰子的移動量總和為兩個取自 $\{0, +1, -2, +2, -4, +3\}$ 的數相加，最負為 $(-4)+(-4) = -8$，要得到 $-5$ 必須有移動量 $-1$，但移動量中沒有 $-1$，所以不可能得到坐標 $-5$。
選項 $(4)$：
因為兩次點數和為奇數表示一次奇數一次偶數，總共有 $3 \times 3 \times 2! = 18$ 種結果。逐一檢查坐標為正的情況：
先奇後偶：$(1,2) \to +1$、$(1,4) \to +2$、$(1,6) \to +3$、$(3,2) \to -1$、$(3,4) \to 0$、$(3,6) \to +1$、$(5,2) \to -3$、$(5,4) \to -2$、$(5,6) \to -1$。其中坐標為正的有 $(1,2),(1,4),(1,6),(3,6)$ 共 $4$ 種。先偶後奇同樣有 $4$ 種坐標為正。所以機率為 $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$。
選項 $(5)$：
因為擲三次棋子在原點表示三次移動量和為 $0$，可能組合有：
$(0,0,0)$ 有 $1$ 種排列；
$(+1,+1,-2)$ 有 $\frac{3!}{2!} = 3$ 種排列；
$(+2,+2,-4)$ 有 $3$ 種排列；
$(+1,+3,-4)$ 有 $3! = 6$ 種排列。
總共 $13$ 種有利結果，機率為 $\frac{13}{216} \neq \left(\frac{1}{6}\right)^3$。
故選 $(2)(4)$。