109指考數學甲補考選填第9題詳解

1. 計算總球數及抽球組合數： 因為箱內共有 $4+8+13=25$ 顆球，同時抽取 $2$ 球，所以總組合數為 $C^{25}_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$。 2. 計算兩球同色的組合數： 因為同色表示兩球皆為同一顏色，所以： 兩紅球：$C^{4}_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 種； 兩藍球：$C^{8}_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 種； 兩白球：$C^{13}_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ 種。 同色組合數為 $6 + 28 + 78 = 112$ 種。 3. 計算兩球異色的組合數： 因為異色為同色的補集，所以異色組合數為 $300 - 112 = 188$ 種。 4. 計算獎金期望值： 因為期望值為各可能獎金乘以對應機率的和，所以： $$E = 450 \times \dfrac{112}{300} + 75 \times \dfrac{188}{300} = \dfrac{50400}{300} + \dfrac{14100}{300} = 168 + 47 = 215$$ 故填 $215$。