109指考數學甲補考選填第10題詳解

1. 設圓心為 $C(0, k)$，其中 $k > 0$，則圓心到 $x$ 軸的距離為 $k$。 2. 設切點為 $P(x_0, y_0)$： 因為圓心與 $x$ 軸的距離和切點與 $x$ 軸的距離之比值為 $5$，所以 $\frac{k}{y_0} = 5$，得 $y_0 = \frac{k}{5}$。 因為 $P$ 在直線 $y = mx$ 上，所以 $y_0 = m x_0$，得 $x_0 = \frac{y_0}{m} = \frac{k}{5m}$。 3. 利用切點性質求 $m$： 因為圓心到切點的連線垂直於切線，而直線 $y = mx$ 的方向向量為 $(1, m)$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{CP} \cdot (1, m) = 0$。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{CP} = \left(\frac{k}{5m}, \; \frac{k}{5} - k\right) = \left(\frac{k}{5m}, \; -\frac{4k}{5}\right)$，所以： $$\dfrac{k}{5m} \cdot 1 + \left(-\dfrac{4k}{5}\right) \cdot m = 0$$ 化簡得 $\frac{1}{5m} = \frac{4m}{5}$，即 $4m^2 = 1$，$m^2 = \frac{1}{4}$。 因為 $m > 0$，所以 $m = \frac{1}{2}$。 故填 $\frac{1}{2}$。