109指考數學乙選填第10題詳解

1. 設 $P = (x_P, 2x_P + 4)$，已知 $Q = (a, 2a + 4)$ 且 $a \ge 0$。 因為 $ABPQ$ 為梯形且 $A(0,0)$、$B(1,0)$，所以 $\overline{AQ} \parallel \overline{BP}$。 2. 因為 $\overline{AQ}$ 的斜率為 $\frac{2a+4}{a}$，$\overline{BP}$ 的斜率為 $\frac{2x_P+4}{x_P-1}$，且兩斜率相等，所以： $$\frac{2a+4}{a} = \frac{2x_P+4}{x_P-1}$$ 交叉相乘得 $(2a+4)(x_P-1) = a(2x_P+4)$，化簡得 $x_P = \frac{3}{2}a + 1$。 因此 $P = \left(\frac{3}{2}a + 1,\; 3a + 6\right)$。 3. 因為梯形頂點依序為 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$P(\frac{3}{2}a+1, 3a+6)$、$Q(a, 2a+4)$，所以用鞋帶公式求面積： $$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\left| 0 \cdot 0 + 1 \cdot (3a+6) + \left(\frac{3}{2}a+1\right)(2a+4) + a \cdot 0 \right. \\ &\; \left. - 0 \cdot 1 - 0 \cdot \left(\frac{3}{2}a+1\right) - (3a+6) \cdot a - (2a+4) \cdot 0 \right| \\ &= \frac{1}{2}\left| (3a+6) + \left(\frac{3}{2}a+1\right)(2a+4) - a(3a+6) \right| \end{aligned}$$ 4. 因為 $a \ge 0$，展開並化簡： $$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\left| 3a+6 + (3a^2+6a+2a+4) - (3a^2+6a) \right| \\ &= \frac{1}{2}\left| 3a+6 + 3a^2 + 8a + 4 - 3a^2 - 6a \right| \\ &= \frac{1}{2}\left| 5a + 10 \right| = \frac{5}{2}a + 5 \end{aligned}$$ 故填 $\frac{5}{2}a + 5$。