109指考數學乙選填第7題詳解

1. 直線 $7x + 2y = k$ 與兩坐標軸圍成的三角形區域為 $x \ge 0$、$y \ge 0$、$7x + 2y \le k$。 2. 因為多邊形區域 $\Gamma$ 需落在此三角形區域內，所以 $\Gamma$ 的所有頂點 $(x, y)$ 都必須滿足 $7x + 2y \le k$，即 $k \ge 7x + 2y$ 對所有頂點成立。 3. 讀取圖中各頂點坐標，計算 $7x + 2y$ 的值： $$\begin{aligned} (0, 5) &\colon 7 \times 0 + 2 \times 5 = 10 \\ (1, 6) &\colon 7 \times 1 + 2 \times 6 = 19 \\ (4, 5) &\colon 7 \times 4 + 2 \times 5 = 38 \\ (6, 2) &\colon 7 \times 6 + 2 \times 2 = 46 \\ (4, 0) &\colon 7 \times 4 + 2 \times 0 = 28 \end{aligned}$$ 4. 因為 $7x + 2y$ 在各頂點的最大值為 $46$，所以 $k \ge 46$，最小正實數 $k = 46$。 故填 $46$。