1. 計算各筆資料的離差與交叉乘積。
令 $x_i = X_i - \mu_X = X_i - 94$，$y_i = Y_i - \mu_Y = Y_i - 97$。
因為題目給定五筆 $(X, Y)$ 資料分別為 $(90, 90)$、$(95, 100)$、$(91, 112)$、$(88, 80)$、$(106, 103)$，所以：
$$\begin{aligned}
(x_1, y_1) &= (-4, -7), & x_1 y_1 &= 28, & x_1^2 &= 16, & y_1^2 &= 49 \\
(x_2, y_2) &= (1, 3), & x_2 y_2 &= 3, & x_2^2 &= 1, & y_2^2 &= 9 \\
(x_3, y_3) &= (-3, 15), & x_3 y_3 &= -45, & x_3^2 &= 9, & y_3^2 &= 225 \\
(x_4, y_4) &= (-6, -17),& x_4 y_4 &= 102, & x_4^2 &= 36, & y_4^2 &= 289 \\
(x_5, y_5) &= (12, 6), & x_5 y_5 &= 72, & x_5^2 &= 144,& y_5^2 &= 36
\end{aligned}$$
2. 因為相關係數 $r_{X,Y} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{5} x_i y_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{5} x_i^2 \cdot \sum\limits_{i=1}^{5} y_i^2}}$，所以分別求和：
$$\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^{5} x_i y_i &= 28 + 3 + (-45) + 102 + 72 = 160 \\
\sum\limits_{i=1}^{5} x_i^2 &= 16 + 1 + 9 + 36 + 144 = 206 \\
\sum\limits_{i=1}^{5} y_i^2 &= 49 + 9 + 225 + 289 + 36 = 608
\end{aligned}$$
3. 因為 $\sum\limits_{i=1}^{5} x_i y_i = 160 > 0$，且 $\sqrt{206 \times 608} 值約為 353.9$，所以 $r_{X,Y} = \frac{160}{\sqrt{206 \times 608}} 值約為 0.45$。
4. 因為 $0 < 0.45 < 0.5$，所以相關係數落在區間 $(0, 0.5)$。
故選 $(4)$。
