109指考數學乙單選第2題詳解

1. 因為甲、乙兩人一定要在同一組，所以依兩人所在組別分成三種情況討論。 2. 情況一：甲、乙同在 $A$ 組（$3$ 人）。 因為 $A$ 組已有 $2$ 人，所以需從剩下 $6$ 人中選 $1$ 人進入 $A$ 組，再將剩下 $5$ 人分配至 $B$ 組（$3$ 人）與 $C$ 組（$2$ 人）。 因為先選 $A$ 組第 $3$ 人，再從剩餘選 $B$ 組 $3$ 人，最後選 $C$ 組 $2$ 人，所以方法數為 $C^6_1 \times C^5_3 \times C^2_2 = 6 \times 10 \times 1 = 60$。 3. 情況二：甲、乙同在 $B$ 組（$3$ 人）。 因為 $B$ 組已有 $2$ 人，所以需從剩下 $6$ 人中選 $1$ 人進入 $B$ 組，再將剩下 $5$ 人分配至 $A$ 組（$3$ 人）與 $C$ 組（$2$ 人）。 因為選法與情況一相同，所以方法數為 $C^6_1 \times C^5_3 \times C^2_2 = 60$。 4. 情況三：甲、乙同在 $C$ 組（$2$ 人）。 因為 $C$ 組已滿，所以剩下 $6$ 人直接分配至 $A$ 組（$3$ 人）與 $B$ 組（$3$ 人）。 因為先從 $6$ 人中選 $3$ 人進 $A$ 組，剩餘進 $B$ 組，所以方法數為 $C^6_3 \times C^3_3 = 20 \times 1 = 20$。 5. 因為三種情況互斥，所以總方法數為 $60 + 60 + 20 = 140$。 故選 $(1)$。