112學測數學A單選第4題詳解

1. 設九位數從左至右為 $d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7d_8d_9$。 條件：$d_1<d_2<d_3<d_4<d_5$ 且 $d_5>d_6>d_7>d_8>d_9$。 2. 因為 $d_5$ 同時是前半段的最大值與後半段的最大值，所以 $d_5$ 必須是全體數字的最大值 $9$。 3. 其餘 $8$ 個數字 $\{1,2,\ldots,8\}$ 中，選出 $4$ 個放在左側（$d_1\sim d_4$），剩下的 $4$ 個自然放在右側（$d_6\sim d_9$）。 因為左側 $4$ 個數字一旦選定，就只能按遞增順序排列（唯一方式）；右側 $4$ 個數字也只能按遞減順序排列（唯一方式）。 4. 所以方法數等於從 $8$ 個數字中選 $4$ 個的組合數： $$C^8_4=\frac{8!}{4!4!}=70.$$ 故選 $(1)$。 另解 中間重疊位置必為最大數 $9$，其餘 $8$ 個數選 $4$ 個放左側即可，故為 $C^8_4=\frac{8!}{4!4!}=70$。