有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：
（一）當所擲點數為 $1$ 點時，棋子不移動。
（二）當所擲點數為 $3$ 或 $5$ 點時，棋子向左（負向）移動「該點數減 $1$」單位。
（三）當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。
第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點。例如，投擲骰子二次，第一、二次分別擲出點數為 $5$ 點、$2$ 點時，該棋子先向左移動 $4$ 單位至坐標 $-4$，再向右移動 $1$ 單位至坐標 $-3$。試選出正確的選項。
- 投擲骰子一次，棋子與原點距離為 $2$ 的機率為 $\frac{1}{2}$
- 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為 $0$
- 投擲骰子二次，棋子的坐標有可能為 $-5$
- 投擲骰子二次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機率為 $\frac{4}{9}$
- 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 $\left(\frac{1}{6}\right)^3$
詳解
分析各點數對應的移動量：點數 $1 \to$ 移動 $0$；點數 $2 \to$ 移動 $+1$；點數 $3 \to$ 移動 $-2$；點數 $4 \to$ 移動 $+2$；點數 $5 \to$ 移動 $-4$；點數 $6 \to$ 移動 $+3$。
(1) 距離為 $2$ 即坐標為 $+2$ 或 $-2$。對應點數 $4$ 和 $3$。機率為 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。錯誤。
(2) 期望值 $E = \frac{0 + 1 - 2 + 2 - 4 + 3}{6} = 0$。正確。
(3) 移動量可能為 $0, +1, -2, +2, -4, +3$。要得到 $-5$，必須是 $-4$ 和 $-1$，但移動量中沒有 $-1$。錯誤。
(4) 點數和為奇數，表示一次奇數一次偶數，共 $3 \times 3 \times 2 = 18$ 種情形。坐標為正的情況：若（奇,偶）：$(1,2) \to +1$, $(1,4) \to +2$, $(1,6) \to +3$, $(3,6) \to +1$ 共有 $4$ 種。若（偶,奇）同理也有 $4$ 種。共 $8$ 種。機率為 $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$。正確。
(5) 擲三次棋子在原點，即三次移動量和為 $0$。可能情形有：$(0,0,0)$ 排列有 $1$ 種；$(+1,+1,-2)$ 排列有 $3$ 種；$(+2,+2,-4)$ 排列有 $3$ 種；$(+1,+3,-4)$ 排列有 $6$ 種。共 $13$ 種。機率為 $\frac{13}{216} \neq (\frac{1}{6})^3$。錯誤。