109指考數學乙補考選填第7題詳解

1. 設 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 為實數。 2. 因為 $f(0) = c$、$f(1) = a + b + c$、$f(2) = 4a + 2b + c$，所以代入題意： $$\begin{aligned} f(0) + f(1) &= c + (a + b + c) = a + b + 2c = 5 \; &\cdots\text{（式1）}\\ f(1) + f(2) &= (a + b + c) + (4a + 2b + c) = 5a + 3b + 2c = 17 \; &\cdots\text{（式2）}\\ f(2) + f(0) &= (4a + 2b + c) + c = 4a + 2b + 2c = 14 \; &\cdots\text{（式3）} \end{aligned}$$ 3. 由（式3）減（式1）：$(4a + 2b + 2c) - (a + b + 2c) = 14 - 5$，得 $3a + b = 9$，即 $b = 9 - 3a$。 由（式2）減（式3）：$(5a + 3b + 2c) - (4a + 2b + 2c) = 17 - 14$，得 $a + b = 3$。 4. 因為將 $b = 9 - 3a$ 代入 $a + b = 3$：$a + (9 - 3a) = 3 \implies -2a = -6 \implies a = 3$，所以 $b = 9 - 3 \times 3 = 0$。 5. 因為將 $a = 3, b = 0$ 代入 $(1)$：$3 + 0 + 2c = 5 \implies 2c = 2 \implies c = 1$。 6. 因為 $a = 3, b = 0, c = 1$，所以 $f(x) = 3x^2 + 0x + 1$。 故填 $3$、$0$、$1$。