109指考數學乙補考非選第12題詳解

(1) 因為 $\langle a_n \rangle$ 前三項成等比數列，由等比中項性質： $$a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \Rightarrow (2x+2)^2 = (x^2 + x + 3)(x+2)$$ 展開並整理得： $$4x^2 + 8x + 4 = x^3 + 3x^2 + 5x + 6 \Rightarrow x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0$$ 利用因式定理，代入 $x=2$ 可使多項式為 $0$，經因式分解得： $$(x-2)(x^2+x-1) = 0$$ 解得 $x = 2$ 或 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。 (2) 若數列的每一項均為有理數： 當 $x = 2$ 時，$a_1 = 9, a_2 = 6, a_3 = 4$，此時公比 $r = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。 因為首項與公比均為有理數，故數列每一項皆為有理數。 答：$x = 2$，公比 $r = \frac{2}{3}$。 (3) 若數列不都是有理數： 當 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 時，公比可表示為： $$r = \frac{a_3}{a_2} = \frac{x+2}{2(x+1)}$$ 由於 $x^2 + x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + x = 1$，將 $r$ 的分子分母同乘 $x$ 化簡： $$r = \frac{x^2+2x}{2(x^2+x)} = \frac{(1-x)+2x}{2(1)} = \frac{x+1}{2}$$ 將 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 代入： $$r = \frac{\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} + 1}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$$ 答：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，公比 $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$。