110學測數學單選第6題詳解

1. 因為正六邊形邊長為 $3$，$A(3,0)$、$D(-3,0)$ 為一對對頂點，所以中心在原點，頂點坐標為 $A(3,0)$、$B\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$、$C\left(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$、$D(-3,0)$、$E\left(-\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$、$F\left(\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$。 2. 上水平邊 $\overline{BC}$：$y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$x\in\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$。代入橢圓 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$： $$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{27}{28}=1 \implies x^2=\dfrac{4}{7} \implies x=\pm\dfrac{2}{\sqrt{7}}$$ 因為 $\left|\pm\frac{2}{\sqrt{7}}\right|\approx0.76<1.5$，所以有 $2$ 個交點。由對稱性，下水平邊 $\overline{EF}$ 也有 $2$ 個交點。 3. 右上斜邊 $\overline{AB}$：過 $A(3,0)$ 與 $B\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$，方程式為 $y=\sqrt{3}(3-x)$，$x\in\left[\frac{3}{2},3\right]$。代入橢圓： $$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{3(3-x)^2}{7}=1\implies 7x^2+48(9-6x+x^2)=112\implies 55x^2-288x+320=0$$ 解得 $x=\frac{8}{5}$ 或 $x=\frac{40}{11}$。因為 $\frac{8}{5}=1.6\in\left[\frac{3}{2},3\right]$，而 $\frac{40}{11}\approx3.64>3$ 不在線段上，所以此邊有 $1$ 個交點。 4. 由對稱性，四條斜邊各貢獻 $1$ 個交點，所以總交點數為 $2+2+1+1+1+1=8$。 故選 $(5)$。