110 學測數學第 20 題

Question

在四面體 $ABCD$ 中，$\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=4\sqrt6$，$\overline{BD}=\overline{CD}=8$，且 $\cos\angle BAC=\dfrac13$，則點 $D$ 到平面 $ABC$ 的距離為 ____。（化成最簡根式）

Accepted Answer

答案：$4\sqrt{2}$
令 $A$ 為原點，$\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=4\sqrt6$，且 $\cos\angle BAC=\dfrac13$。由 $BD=CD=8$ 可知 $D$ 在 $B,C$ 的垂直平分平面上。將 $D$ 分解為平面 $ABC$ 上投影與垂直高度，代入 $AD=4\sqrt6$、$BD=8$ 可得高度平方為 $32$，故距離為 $4\sqrt2$。