111學測數學A單選第2題詳解

1. 因為某生誤按 $\log(b,a)$，所得為正確值 $\log_a b$ 的 $\frac{9}{4}$ 倍，所以 $$\log_b a=\frac{9}{4}\log_a b.$$ 2. 由換底公式 $\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$，代入得 $$\frac{1}{\log_a b}=\frac{9}{4}\log_a b.$$ 3. 兩邊同乘 $\log_a b$（因為 $a,b>1$，$\log_a b>0$），得 $(\log_a b)^2=\frac{4}{9}$，所以 $\log_a b=\frac{2}{3}$。 4. 因此 $b=a^{\frac{2}{3}}$，即 $a^2=b^3$。 故選 $(1)$。