112學測數學A多選第8題詳解

因為單次中獎機率為 $0.1$，所以 $n$ 次全未中獎機率為 $0.9^n$，因此 $p_n=1-0.9^n$。 $(1)$ 正確：$p_{n+1}-p_n=(1-0.9^{n+1})-(1-0.9^n)=0.9^n-0.9^{n+1}=0.1\cdot0.9^n>0$。 $(2)$ 錯誤：$p_3=1-0.9^3=1-0.729=0.271\neq0.3$。 $(3)$ 錯誤：$p_{n+1}-p_n=0.1\cdot0.9^n$ 隨 $n$ 而變，不是定值，所以 $\langle p_n\rangle$ 不是等差數列。 $(4)$ 正確：$p_2-p_1=(1-0.9^2)-(1-0.9)=0.09$，而第一次未中且第二次中的機率為 $0.9\times0.1=0.09$，兩者相等。 $(5)$ 錯誤：至少中獎 $2$ 次的機率為$1-0.9^n-C^n_1\cdot0.1\cdot0.9^{n-1}$，不等於 $2p_n$。 故選 $(1)(4)$。