112學測數學A單選第18題詳解

1. 因為 $A(1,0)$，$\overline{AP}=\overline{OA}=1$，所以 $\triangle OAP$ 為等腰三角形，$\overline{OA}=\overline{AP}=1$。 2. 在 $\triangle OAP$ 中，$\angle AOP=\theta$，且兩腰長皆為 $1$。由餘弦定理： $$\begin{aligned} \overline{OP}^2&=\overline{OA}^2+\overline{AP}^2-2\cdot\overline{OA}\cdot\overline{AP}\cdot\cos(\pi-2\theta) \\[4pt] &=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot(-\cos 2\theta) \\[4pt] &=2+2\cos 2\theta=2(1+\cos 2\theta)=4\cos^2\theta. \end{aligned}$$ 所以 $\overline{OP}=2\cos\theta$（因為 $\theta$ 為銳角，$\cos\theta>0$）。 故選 $(4)$。