113學測數學A非選第20題詳解

1. 因為 $P(a,b,c)$ 在平面 $E:x-z=4$ 上且 $b=0$，所以 $a-c=4$，即 $a=c+4$。 2. 將 $a=c+4$ 與 $b=0$ 代入第 $19$ 題的結果 $a^2\ge 3(b^2+c^2)$，所以 $$(c+4)^2\ge 3c^2\implies c^2+8c+16\ge 3c^2\implies c^2-4c-8\le 0.$$ 3. 因為 $c^2-4c-8=0$ 的兩根為 $c=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=2\pm 2\sqrt{3}$，而開口向上的二次式在兩根之間為負，所以 $$2-2\sqrt{3}\le c\le 2+2\sqrt{3}.$$ 4. 因為 $b=0$，所以 $$\overline{OP}^2=a^2+c^2=(c+4)^2+c^2=2c^2+8c+16=2(c+2)^2+8.$$ 5. 因為此二次式在 $c=-2$ 處最小、之後隨 $c$ 增大而遞增，而 $2-2\sqrt{3}>-2$（因為 $2\sqrt{3}<4$），所以整個範圍都落在頂點右側，最小值發生在左端點 $c=2-2\sqrt{3}$。 6. 代入計算，所以 $$\overline{OP}^2=2\left(4-2\sqrt{3}\right)^2+8=2\left(28-16\sqrt{3}\right)+8=64-32\sqrt{3}.$$ 7. 因為 $64-32\sqrt{3}=16\left(4-2\sqrt{3}\right)=16\left(\sqrt{3}-1\right)^2$，所以開平方得 $\overline{OP}=4\left(\sqrt{3}-1\right)$。 故 $c$ 的最大可能範圍為 $2-2\sqrt{3}\le c\le 2+2\sqrt{3}$，$\overline{OP}$ 的最小可能長度為 $4(\sqrt{3}-1)$。