113學測數學B多選第12題詳解

$2\times2$ 棋盤，機器人初始在 $A$，每次上下左右機率各 $\frac{1}{4}$，出界則停留。 選項 $(1)$：因為從 $A$ 向右一格到 $B$ 的機率為 $\frac{1}{4}$，所以 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$：兩步後在 $B$ 的路徑：$A\to A\to B$（$\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$）加上 $A\to B\to B$（$\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$）。因為總機率 $b_2=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{8}$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：由對稱性分析，$a_2+d_2=\frac{1}{2}\neq\frac{3}{4}$，所以 $(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為棋盤關於對角線 $\overline{AD}$ 對稱，$B$ 與 $C$ 位置對稱，初始在對稱軸上，所以對任意 $n$ 有 $b_n=c_n$。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：由對稱性，每一步落在 $\{A,D\}$ 的機率恆為 $\frac{1}{2}$，所以 $a_n+d_n=\frac{1}{2}$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。