小明寫了一個程式讓機器人在 $2\times2$ 的棋盤中移動，如圖所示。每執行一次，程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向，不同方向被選擇的機率均相等，並指示機器人依該方向移動一格，但若選到的方向會跑出棋盤，則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動，假設機器人的初始位置在 $A$。令執行程式 $n$ 次後，機器人停留在 $A$、$B$、$C$、$D$ 的機率分別為 $a_n$、$b_n$、$c_n$ 和 $d_n$。試選出正確的選項。