三平面的法向量分別為
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=(1,1,1),\;
\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(1,-1,1),\;
\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3=(1,-1,-1).$$
求各交線的方向向量（法向量的外積）：
1. $L_1=E_2\cap E_3$ 的方向向量：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{d}_1
=\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2\times\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3
=(2,2,0),$$
取 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}_1=(1,1,0)$。
2. $L_2=E_3\cap E_1$ 的方向向量：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{d}_2
=\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3\times\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1
=(0,-2,2),$$
取 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}_2=(0,1,-1)$。
3. $L_3=E_1\cap E_2$ 的方向向量：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{d}_3
=\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\times\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2
=(2,0,-2),$$
取 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}_3=(1,0,-1)$。
因為三個方向向量的長度均為 $\sqrt{2}$，且任兩方向的內積為
\begin{align*}
\overset{\large\rightharpoonup}{d}_1\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{d}_2
&=1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot(-1)=1,\\[4pt]
\overset{\large\rightharpoonup}{d}_2\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{d}_3
&=0\cdot 1+1\cdot 0+(-1)\cdot(-1)=1,\\[4pt]
\overset{\large\rightharpoonup}{d}_3\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{d}_1
&=1\cdot 1+0\cdot 1+(-1)\cdot 0=1,
\end{align*}
所以 $\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma
=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
故 $\alpha=\beta=\gamma=60^\circ$。