由第 $12$ 題，共同交點為 $P(1,2,4)$。
由第 $13$ 題，三直線的方向向量取為
$$\overset{\large\rightharpoonup}{d}_1=(1,1,0),\;
\overset{\large\rightharpoonup}{d}_2=(0,1,-1),\;
\overset{\large\rightharpoonup}{d}_3=(1,0,-1),$$
其長度均為 $\sqrt{2}$，且任兩夾角為 $60^\circ$。
因為正四面體的邊長為 $6\sqrt{2}$，
在三直線上從 $P$ 點出發沿各方向向量前進，
因方向向量長為 $\sqrt{2}$，所以位移參數為 $\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6$，
得三頂點：
\begin{align*}
Q_1 &= P+6\,\overset{\large\rightharpoonup}{d}_1=(1,2,4)+(6,6,0)=(7,8,4),\\[4pt]
Q_2 &= P+6\,\overset{\large\rightharpoonup}{d}_2=(1,2,4)+(0,6,-6)=(1,8,-2),\\[4pt]
Q_3 &= P+6\,\overset{\large\rightharpoonup}{d}_3=(1,2,4)+(6,0,-6)=(7,2,-2).
\end{align*}
因為三點兩兩距離均為 $6\sqrt{2}$，所以構成正四面體的一個面。
過此三點的平面即為 $E_4$：
$$\begin{vmatrix}
x-7 & y-8 & z-4\\
-6 & 0 & -6\\
0 & -6 & -6
\end{vmatrix}=0,$$
展開行列式得 $36(x-7)+36(y-8)-36(z-4)=0$，
化簡得 $x+y-z=11$。
若沿反方向前進，同理得對稱平面 $x+y-z=-13$。
因此 $E_4$ 的方程式為 $x+y-z=11$ 或 $x+y-z=-13$。