113 分科測驗數學甲第 14 題

Question

若坐標空間中第四個平面 $E_4$ 與 $E_1$、$E_2$、$E_3$ 圍出一個邊長為 $6\sqrt2$ 的正四面體，試求出 $E_4$ 的方程式（寫成 $x+ay+bz=c$ 的形式）。（非選擇題，$4$ 分）

Accepted Answer

答案：$x+y-z=11$ 或 $x+y-z=-13$
由第 $12$ 題 $P=(1,2,4)$。取三條交線方向為 $\mathbf{d}_1=(1,1,0)$、$\mathbf{d}_2=(0,1,-1)$、$\mathbf{d}_3=(1,0,-1)$，其長度皆為 $\sqrt2$ 且任兩夾角為 $60^\circ$。若在三方向上取同參數 $6$，截得三點 $(7,8,4)$、$(1,8,-2)$、$(7,2,-2)$，兩兩距離皆為 $6\sqrt2$，其平面為 $x+y-z=11$。若取反方向同參數，得到對稱平面 $x+y-z=-13$。題目未指定 $E_4$ 位於共同交點哪一側，因此兩式皆為可能答案。