114學測數學B多選第12題詳解

等差數列首項 $a_1=1$，末項 $a_n=81$，項數 $n\le100$。設公差為 $d$，則 $$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)d=81\implies d=\frac{80}{n-1}.$$ 因為 $9$ 在數列中，設 $9=a_1+kd=1+kd$（$k$ 為非負整數），則 $kd=8$。代入 $d=\frac{80}{n-1}$ 得 $k\cdot\frac{80}{n-1}=8$，即 $n-1=10k$。因此 $n=10k+1$，且 $n\le100$。$k$ 可取 $1,2,\ldots,9$，對應 $n=11,21,31,\ldots,91$。 選項 $(1)$：$n=10k+1$，$10k$ 為偶數，加 $1$ 後必為奇數。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：$41-1=40=5kd$（因為 $kd=8$），所以 $41=1+5kd$，對任何可能的數列 $41$ 皆為第 $5k$ 項（$5k<n$ 當 $k\ge1$ 時自動滿足）。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：公差 $d=\frac{80}{10k}= \frac{8}{k}$。當 $k=3$ 時 $d=\frac{8}{3}$ 不是整數。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$k$ 可取 $1$ 到 $9$ 共 $9$ 個值，每個 $k$ 對應一個數列，共 $9$ 個。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：若 $n$ 為 $7$ 的倍數，$n=10k+1$ 在 $k=2$（$n=21$）和 $k=9$（$n=91$）時皆為 $7$ 的倍數，$n$ 不唯一。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)$。