114學測數學B非選第20題詳解

承第 $19$ 題，$f(t)=8\sin\bigl(\frac{\pi t}{12}\bigr)$，$0\le t\le12$。 條件 $4\sqrt{2}\le f(t)\le4\sqrt{3}$ 等價於 $$\frac{4\sqrt{2}}{8}\le\sin\Bigl(\frac{\pi t}{12}\Bigr)\le\frac{4\sqrt{3}}{8},$$ 即 $\frac{\sqrt{2}}{2}\le\sin\bigl(\frac{\pi t}{12}\bigr)\le\frac{\sqrt{3}}{2}$。 令 $\theta=\frac{\pi t}{12}$，則 $\theta\in[0,\pi]$。在此區間解 $\frac{\sqrt{2}}{2}\le\sin\theta\le\frac{\sqrt{3}}{2}$： 因為 $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3}=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以解為 $$\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\;\text{或}\;\frac{2\pi}{3}\le\theta\le\frac{3\pi}{4}.$$ 因為 $\theta=\frac{\pi t}{12}$，所以 $$\frac{\pi}{4}\le\frac{\pi t}{12}\le\frac{\pi}{3}\implies 3\le t\le4,$$ $$\frac{2\pi}{3}\le\frac{\pi t}{12}\le\frac{3\pi}{4}\implies 8\le t\le9.$$ 故 $3\le t\le4$ 或 $8\le t\le9$。