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114學測數學B非選第19題詳解

📅 114 年 📝 學測數學B 第 19 題 題型：非選 課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$a=8$，$b=\dfrac{\pi}{12}$

本題考點：正弦函數、週期、三角函數、公式代入

題目

題組
地球受到太陽照射過來的紫外線強度以 UVI 數值表示，一單位 UVI 的照射強度相當於每平方公尺 $100$ 焦耳的能量。根據上述，試回答下列問題。
已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 $12$ 小時，且該地當天日出後 $x$ 小時（$0\le x\le12$）的 UVI 數值，可用函數 $f(x)=a\sin(bx)$ 來表示，其中 $a,b>0$。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 $0$（即 $f(0)=f(12)=0$），且當天日出後 $2$ 小時的 UVI 數值為 $4$。試求 $a$、$b$ 之值。（非選擇題，$6$ 分）
正弦函數週期三角函數
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

$a=8$，$b=\dfrac{\pi}{12}$

詳解

詳解
$f(x)=a\sin(bx)$，$a,b>0$，$0\le x\le12$。日照時 UVI 為正，非日照時為 $0$，且 $f(0)=f(12)=0$。 $f(0)=a\sin0=0$ 自然成立。$f(12)=a\sin(12b)=0$。因為 $f(x)>0$ 在 $0<x<12$ 上，$bx$ 的範圍是 $0<bx<12b$。$\sin$ 在 $(0,\pi)$ 為正、在 $\pi$ 處為 $0$，所以 $12b=\pi$，得 $b=\frac{\pi}{12}$。 代入 $f(2)=4$： $$f(2)=a\sin\Bigl(\frac{\pi}{12}\times2\Bigr)=a\sin\frac{\pi}{6}=a\times\frac{1}{2}=4,$$ 所以 $a=8$。 故 $a=8$，$b=\frac{\pi}{12}$。

題目來源：民國114年學測數學B 第19題（來源PDF第6頁）

資料版本：2026-06-01（commit eb9fe4d6）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈114學測數學B非選第19題詳解〉，資料版本 2026-06-01，https://twmath.com/questions/114_02B_q19.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。