114 分科測驗數學甲第 17 題

Question

令 $V$ 為 $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有 $a\in\left[-\dfrac12,1\right]$，$V$ 是否都相等？若相等，則求其值；若不相等，則當 $a$ 為多少時，$V$ 有最大值，並求此最大值。

Accepted Answer

答案：不相等；當 $a=1$ 時最大，最大值為 $\dfrac{18\pi}{5}$。
$V=\pi\int_{-1}^{1}(3ax^2+1-a)^2dx$，且 $\dfrac{V}{\pi}=2(1-a)^2+4a(1-a)+\dfrac{18}{5}a^2=2+\dfrac85a^2$。故不恆相等；在區間上 $a=1$ 時最大，$V_{\max}=\dfrac{18\pi}{5}$。