114分科測驗數學乙非選第14題詳解

1. 因為 $x=-3$ 與 $x=1$ 是 $f(x)$ 的極值點，代表 $f'(-3)=f'(1)=0$，所以可設 $$f'(x)=a(x+3)(x-1),\;a\ne 0.$$ 2. 因為 $f''(x)=a(2x+2)$，令它為 $0$ 得 $x=-1$；又 $f''(x)$ 在 $x=-1$ 左右變號，所以反曲點的 $x$ 坐標為 $-1$。 3. 因為通過反曲點的切線斜率就是 $f'(-1)$，題目給定它等於 $4$，所以 $$f'(-1)=a(-1+3)(-1-1)=a(2)(-2)=-4a=4\implies a=-1.$$ 4. 把 $a=-1$ 代回並展開，所以 $$f'(x)=-(x+3)(x-1)=-\left(x^2+2x-3\right)=-x^2-2x+3.$$ 故 $f'(x)=-x^2-2x+3$。