114分科測驗數學乙單選第13題詳解

1. 因為 $f(x)$ 是三次多項式，所以 $f'(x)$ 是二次多項式；又 $x=-3$ 與 $x=1$ 都是極值點，代表它們是 $f'(x)=0$ 的兩根，所以可設 $$f'(x)=a(x+3)(x-1),\;a\ne 0.$$ 2. 因為在 $x=-3$ 是極小值、在 $x=1$ 是極大值，代表 $f$ 在這兩點之間遞增，所以 $f'(x)$ 在 $-3$ 與 $1$ 之間為正。 3. 取區間內的 $x=0$ 代入，因為 $f'(0)=a(3)(-1)=-3a>0$，所以 $a<0$。 4. 對 $f'(x)=a\left(x^2+2x-3\right)$ 再微分一次，所以 $$f''(x)=a(2x+2).$$ 5. 分別代入兩個極值點，所以 $$f''(-3)=a(-4)=-4a,\;f''(1)=a(4)=4a.$$ 6. 因為 $a<0$，所以 $-4a>0$ 而 $4a<0$，得 $f''(-3)>0$ 且 $f''(1)<0$。 故選 $(3)$。