115學測數學B多選第9題詳解

$f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x)$。 選項 $(1)$：$f(x)$ 除以 $(1-x)(2-x)(4+x)$，因為商式為 $(2-x)$，餘式為 $0$，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：令 $u=x-2$，則 $1-x=-1-u$，$2-x=-u$，$4+x=6+u$。所以 $$f(x)=(-1-u)(-u)^2(6+u)=(-1-u)u^2(6+u)=-u^4-7u^3-6u^2$$ 即 $f(x)=-(x-2)^4-7(x-2)^3-6(x-2)^2$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$f(x)>0$ 等價於 $(1-x)(4+x)>0$（因為 $(2-x)^2\ge0$ 且 $x\neq2$），即 $-4<x<1$ 且 $x\neq2$。$(3)$ 錯誤（若選項宣稱其他範圍）。 選項 $(4)$：$f(2026)=(1-2026)(2-2026)^2(4+2026)=(-2025)(2024)^2(2030)<0$。$f(-2022)=(1+2022)(2+2022)^2(4-2022)=(2023)(2024)^2(-2018)<0$。因為 $\frac{f(2026)}{f(-2022)}=\frac{2025\times2030}{2023\times2018}>1$，所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$f(x)$ 為四次多項式，$f'(x)$ 為三次，必至少有一實根。經計算有三個相異實根，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。