113學測數學B多選第9題詳解

令 $q(x)=x^3+7x^2+x+3$，$d(x)=x^2+5x+1$。若 $f(x)$ 除以 $d(x)$ 的商式為 $q(x)$，則 $f(x)=q(x)d(x)+r(x)$，其中 $\deg r(x)\le1$。 選項 $(1)$：因為 $2q(x)d(x)$ 的商式為 $2q(x)$ 而非 $q(x)$，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$f=qd+(-x)$，因為餘式 $-x$ 為一次式，$\deg<2$，所以商式為 $q$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$f=qd+x^2$，因為餘式 $x^2$ 次數為 $2$，所以商式會改變。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$(q+1)d-x=qd+(d-x)=qd+(x^2+5x+1-x)=qd+(x^2+4x+1)$。因為餘式次數為 $2$，所以商式變為 $q+1$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$(q+1)d-x^2=qd+(d-x^2)=qd+(5x+1)$。因為餘式 $5x+1$ 次數 $1<2$，所以商式恰為 $q$。$(5)$ 正確。 故選 $(2)(5)$。