112學測數學B單選第6題詳解

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，$g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。 先看某甲算的「$g$ 除以 $f$」：因為 $g$ 的最高次項係數為 $a$、$f$ 的為 $1$，所以商為 $a$，餘式為 $$g(x)-a f(x)=(b-a^2)x^2+(c-ab)x+(d-ac)$$ 因為他算出的餘式是 $-3x-17$（一次式），所以二次項係數必須為零：$b-a^2=0$，得 $b=a^2$。 再看正確的「$f$ 除以 $g$」：因為 $f$ 的最高次項係數為 $1$、$g$ 的為 $a$，所以商為 $\frac{1}{a}$，餘式為 $$f(x)-\frac{1}{a}g(x)=\left(a-\frac{b}{a}\right)x^2+\left(b-\frac{c}{a}\right)x+\left(c-\frac{d}{a}\right)$$ 題目設此餘式為 $px^2+qx+r$，所以 $p=a-\frac{b}{a}=\frac{a^2-b}{a}$。 把 $b=a^2$ 代入，得 $p=\frac{a^2-a^2}{a}=0$。 故選 $(3)$。