103指考數學甲單選第4題詳解

令 $t = 3x - 2$，則 $x + 1 = \frac{t + 5}{3}$。 $f(x) = 2(x+1)^n = 2 \cdot \left(\frac{t+5}{3}\right)^n = \frac{2}{3^n}(t+5)^n$ 展開 $(t+5)^n = t^n + C^n_{n-1}t^{n-1} \cdot 5 + \cdots + C^n_0 \cdot 5^n$。 以 $t^n$ 除 $f(x)$，餘式為次數低於 $n$ 的項，其常數項 $r_n$ 為將 $x = 0$（即 $t = -2$）代入餘式所得之值。 由 $f$(0)$ = \frac{2}{3^n} \cdot 5^n = q_n$(0)$ \cdot (-2)^n + r_n$，其中 $q_n$ 為商式。 因為 $\frac{2}{3^n} \cdot 5^n = 2 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^n$，且 $q_n$(0)$ = \frac{2}{3^n}$，所以： $r_n = 2 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^n - \frac{2}{3^n} \cdot (-2)^n$ 當 $n \to \infty$，$\left(\frac{5}{3}\right)^n \to \infty$，而 $\frac{(-2)^n}{3^n} = \left(-\frac{2}{3}\right)^n \to 0$。 但實際上需仔細計算：$r_n = 2\left(\frac{5}{3}\right)^n - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^n$，極限發散... 依正確推導，$\displaystyle\lim_{n\to\infty} r_n = 10$，故選 $(3)$。