113學測數學B多選第8題詳解

因為 $a,b,c,d,e$ 為正實數等比數列且 $a<b<c<d<e$，所以公比 $r>1$，且 $b=ar$、$c=ar^2$、$d=ar^3$、$e=ar^4$。 選項 $(1)$：因為 $a,-b,c,-d,e$ 相鄰兩項比值為 $-r$（常數），所以為等比數列。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：因為 $e,d,c,b,a$ 相鄰兩項比值為 $\frac{1}{r}$（常數），所以為等比數列。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：因為 $\log a,\log b,\dots$ 的差為 $\log r$（定差），所以為等差數列而非等比。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$\frac{3^b}{3^a}=3^{a(r-1)}$，$\frac{3^c}{3^b}=3^{ar(r-1)}$，因為兩比值通常不等，所以 $(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：因為 $\frac{bcd}{abc}=r^3$，$\frac{cde}{bcd}=r^3$，比值皆 $r^3$，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(5)$。