83學測數學單選第7題詳解

設 $M,N$ 分別為弦 $\overline{AB},\overline{PQ}$ 的中點。因為圓心到弦的垂線平分弦，所以 $\overline{AM}=0.8$、$\overline{PN}=0.6$，且 $\overline{OA}=\overline{OP}=1$。 在直角三角形 $OAM$、$OPN$ 中，令 $\alpha=\angle AOM$、$\beta=\angle PON$。由畢氏定理得 $\overline{OM}=0.6$、$\overline{ON}=0.8$，因此 $$\tan\alpha=\frac{0.8}{0.6}=\frac43,\; \tan\beta=\frac{0.6}{0.8}=\frac34.$$ 由圖中兩條平行弦的位置，$\angle AOP=\alpha-\beta$，所以 $$\tan\angle AOP=\frac{\frac43-\frac34}{1+\frac43\cdot\frac34}=\frac{7}{24}.$$ 查表可得 $\tan16^\circ<\frac{7}{24}<\tan17^\circ$；因為正切函數在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 間遞增，所以 $16^\circ<\angle AOP<17^\circ$。 故選 $(4)$。