我們首先使用輾轉相除法計算分母 $4369$ 與 $5911$ 的最大公因數： $$\begin{aligned} 5911 &= 4369 \times 1 + 1542 \\ 4369 &= 1542 \times 2 + 1285 \\ 1542 &= 1285 \times 1 + 257 \\ 1285 &= 257 \times 5 + 0 \end{aligned}$$ 因此，$\gcd(4369, 5911) = 257$。 我們可以將這兩個分母做質因數分解： $$4369 = 257 \times 17, \ \ \ \ 5911 = 257 \times 23$$ 計算分數之和： $$\dfrac{1}{4369} + \dfrac{1}{5911} = \dfrac{17 + 23}{257 \times 17 \times 23} = \dfrac{40}{100487}$$ 因為分子 $40 = 2^3 \times 5$，與分母的因數 $17, 23, 257$ 互質，因此 $\dfrac{40}{100487}$ 已為最簡分數，其分母為 $100487$。故選 $(1)$。