84學測數學選填第17題詳解

設觀測點為 $O$。汽艇在先前的點記作 $A$，一分鐘後的點記作 $B$。依題意知： - 線段長度 $\overline{OA} = 200$ 公尺，$\overline{OB} = 300$ 公尺。 - 汽艇從正前方偏左 $50^\circ$ 駛到正前方偏右 $70^\circ$，因此與觀測點所張的夾角為： $$\angle AOB = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$$ 在三角形 $OAB$ 中，利用餘弦定理求汽艇行駛的距離 $\overline{AB}$： $$\begin{aligned} \overline{AB}^2 &= \overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 - 2 \overline{OA} \cdot \overline{OB} \cos\angle AOB \\ &= 200^2 + 300^2 - 2(200)(300) \cos 120^\circ \\ &= 40000 + 90000 - 120000 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 130000 + 60000 = 190000 \end{aligned}$$ 因此，線段長度為： $$\overline{AB} = \sqrt{190000} = 100\sqrt{19} \text{ 公尺}$$ 所以此艇在一分鐘內行駛了 $100\sqrt{19}$ 公尺。